5. Triángulos

Por sus lados: equilátero (3 iguales, 60° c/u), isósceles (2 iguales), escaleno (ninguno igual).

Por sus ángulos: acutángulo (los tres menores que 90°), rectángulo (uno de 90°), obtusángulo (uno mayor que 90°).

Las marcas iguales señalan lados iguales.

Un triángulo se define por tener tres lados. De ahí se desprende una regla utilísima: en el plano, sus tres ángulos internos suman 180°. Si te dan dos, el tercero sale restando.

\[\begin{gathered} \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \end{gathered}\]

5.1 Lee las marcas del dibujo

Muchas veces el examen no escribe las medidas: las marca en la figura.

Marca	Significa
cuadrito en un vértice	ese ángulo es recto (90°)
rayitas iguales en los lados	esos lados miden lo mismo
arquitos iguales en los ángulos	esos ángulos miden lo mismo
sin marcas	el dibujo no informa sobre esos lados

Así identificas el tipo de triángulo sin que te lo digan: tres lados marcados igual = equilátero; dos = isósceles. Ojo: que no haya marcas no prueba que sea escaleno, solo significa que el dibujo no da esa información.

5.2 Nombra bien los lados

Antes de aplicar cualquier fórmula, ubica el ángulo θ (el que no es el recto). A partir de ahí:

Lado	Cómo lo reconoces	Cómo lo abrevian
Cateto opuesto	está enfrente del ángulo θ	op (c. opuesto)
Cateto adyacente	toca al ángulo θ (sin ser la hipotenusa)	ady (c. adyacente)
Hipotenusa	el lado más largo; siempre frente al ángulo recto	hip

Primero ubica el ángulo θ: el lado de enfrente es el opuesto, el que lo toca es el adyacente y el más largo (frente al ángulo recto) es la hipotenusa. Aunque volteen el triángulo, los nombres siguen al ángulo.

No importa si el triángulo viene volteado ni si le cambian las letras (a, b, c o x, y, z): la regla es la misma. Y no te desconciertes si en el examen aparecen abreviados: op, ady e hip son los mismos lados de siempre.

5.3 Teorema de Pitágoras

Solo aplica a triángulos rectángulos (los que tienen un ángulo de \(90^{\circ}\)).

\[\begin{gathered} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{gathered}\]

Los mismos lados del subtema anterior, ahora con las letras que usa la fórmula: a y b son los catetos y c la hipotenusa, el lado que queda frente al ángulo recto.

Según lo que te pidan, ya viene despejado. El lado que buscas va solo del lado izquierdo:

Si buscas…	Usa
la hipotenusa	\(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
el cateto opuesto	\(a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}\)
el cateto adyacente	\(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\)

Ejemplo: catetos 6 y 8, ¿cuánto mide la hipotenusa?

\[\begin{gathered} c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{gathered}\]

Ternas notables (lados que ya cumplen Pitágoras): \((3, 4, 5) \cdot (5, 12, 13) \cdot (8, 15, 17) \cdot (6, 8, 10)\). Si las reconoces, contestas sin calcular.

Chequeo de 5 segundos: la hipotenusa siempre es el lado más largo. Si te piden la hipotenusa y tu resultado es menor que un cateto, te equivocaste.

5.4 Semejanza

Dos triángulos son semejantes cuando tienen los mismos ángulos y sus lados guardan la misma proporción: es la misma figura a otra escala (como un hijo y su padre: mismas facciones, distinto tamaño). Se escribe △ABC ~ △DEF.

\[\begin{gathered} \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \end{gathered}\]

Atajo "voltea la tortilla": si la incógnita queda abajo en la fracción, invierte las dos fracciones (no solo una) y luego despeja multiplicando.

Ejemplo: \(AB = 6\), \(DE = 9\), \(BC = 8\), ¿cuánto mide EF? Llama x al lado buscado:

\[\begin{gathered} \frac{6}{9} = \frac{8}{x} \quad \to \quad \frac{9}{6} = \frac{x}{8} \quad \to \quad x = \frac{9}{6} \times 8 = 12 \end{gathered}\]

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